Implizite Volatilitäten im Black-Scholes-Modell: Eine theoretische und empirische Betrachtung

Seit Beginn des 20. Jahrhunderts hat sich der Handel mit Finanzderivaten schneller entwickelt als der aller anderen Finanzinstrumente. Wurden im Jahr 2000 noch Finanzderivate im Volumen von 384,6 Billionen US-Dollar an Terminbörsen gehandelt, war das Handelsvolumen im Jahr 2008 bereits auf 2.200 Billionen US-Dollar gestiegen. Durch diese über die Jahre gestiegene Bedeutung der Finanzderivate und damit der Terminbörsen rückte auch die implizite Volatilität immer stärker ins Blickfeld der Betrachtung.

Die implizite Volatilität gilt als Maß, um die aktuell am Markt erwartete Schwankungsbreite eines Basiswertes anzugeben. Diese kann mit Hilfe des Black-Scholes-Modells bestimmt werden.

Die vorliegende Arbeit erklärt nach der Einführung im theoretischen Teil zunächst das Black-Scholes-Modell. Nach Darlegung der Grundannahmen des Modells erfolgt anschließend die Herleitung der Black-Scholes-Differentialgleichung über das Mittel der Arbitrage. Im Anschluss daran werden die Bewertungsformeln für die Berechnung europäischer Aktienoptionen dargestellt. Im vorletzten Teil dieses Kapitels wird der Volatilitäts-Smile erläutert, ein Phänomen welches in der Realität auftritt. Den letzten Teil dieses Kapitels bildet ein Ausblick auf verschiedene Modelle, die auf dem Black-Scholes-Modell aufbauen.

Schließlichl wird zunächst theoretisch erklärt, wie die implizite Volatilität über das Black-Scholes-Modell ermittelt werden kann. Im Anschluss daran erfolgt die Berechnung mittels notierter Optionswerte. Als Grundlage dienen dabei Dax-Kaufoptionen, deren Schlusskurse für den Zeitraum vom 01.Dezember 2013 bis 15.Januar 2014 aufgenommen wurden.



Seit Beginn des 20. Jahrhunderts hat sich der Handel mit Finanzderivaten schneller entwickelt als der aller anderen Finanzinstrumente. Wurden im Jahr 2000 noch Finanzderivate im Volumen von 384,6 Billionen US-Dollar an Terminbörsen gehandelt, war das Handelsvolumen im Jahr 2008 bereits auf 2.200 Billionen US-Dollar gestiegen. Durch diese über ...



Textprobe:

Kapitel 3.2, Berechnung der Impliziten Volatilität am Beispiel von DAX-Optionen:

3.2.1, Prämissen:

Dem Black-Scholes-Modell sind die in Kapitel 2.2 aufgezählten Annahmen zu Grunde gelegt. Bevor im Folgenden mit der Berechnung der impliziten Volatilitäten begonnen werden soll, muss zunächst geprüft werden ob sich das Black-Scholes-Modell generell als Basis eignet um implizite Volatilitäten zu berechnen. Dazu müssen die Modellprämissen kritisch diskutiert werden.

Als Datenbasis sollen in dieser Arbeit Optionen des Deutschen Aktien Indexes (kurz: DAX) verwendet werden. Der Dax ist der Leitindex der Deutsche Börse AG. Mit ihm werden die 30 größten, umsatzstärksten und an der Frankfurter Börse gelisteten Unternehmen Deutschlands abgebildet. Den Dax gibt es seit 1988. Mit dem Handel von DAX-Optionen (ISIN DE0008469495) wurde 1991 an der Deutschen Terminbörse (DTB) begonnen. Heute werden Dax-Optionen an der Eurex, der European Exchange, einer der größten Terminbörsen weltweit gehandelt. Hinsichtlich Ausübungspreisen und Laufzeiten existiert eine Vielzahl unterschiedlicher Dax-Optionen. Die maximale Laufzeit einer Dax-Option beträgt 60 Monate. Der letzte Handels- und zugleich Schlussabrechnungstag ist der dritte Freitag des Verfallmonats. Der Kontraktwert einer Dax-Optionen ist 5€ pro Indexpunkt, wobei die minimale Preisveränderung 0,1 Punkte beziehungsweise 0,50€ beträgt. Die Dax-Option ist eine Option europäischer Art, deren Erfüllung durch Barausgleich erfolgt.

Die in Kapitel 2.2 dargestellten Annahmen lassen sich grundsätzlich in zwei Kategorien unterteilen. Zum einen gibt es eine Vielzahl von Annahmen die Einschränkungen an die Umwelt darstellen. Daneben gibt es Annahmen über den zugrundeliegenden Aktienkursprozess.

Zu den Marktbedingungen eines vollkommenen Kapitalmarktes gehören die Markttransparenz, die symmetrische Informationsverteilung, die Freiheit von Steuern und Transaktionskosten, sowie die Annahme rationaler Marktteilnehmer. Das Ergebnis des vollkommenen Kapitalmarktes ist unter anderem das Fehlen von Arbitragemöglichkeiten. Obwohl der Kapitalmarkt in der Realität nicht all diese Anforderungen erfüllt, ist es heute vor allem durch den Fortschritt der Technik und die Nutzung der Informations- und Telekommunikationstechnik möglich auf Teilmärkten, wie beispielsweise der EUREX, die eine reine Computerbörse darstellt, annähernd ideale Marktbedingungen zu schaffen. Die Annahmen, dass die Investoren zu einem einheitlichen Zinssatz Geld leihen oder verleihen können sowie dass dieser Zinssatz während der Laufzeit bekannt und konstant ist, werden insgesamt als unbedenklich bewertet. Zwar sind Zinssätze in der Realität durchaus Schwankungen unterzogen, jedoch sind diese Schwankungen, betrachtet man beispielsweise den Zeitraum des letzten Jahres, eher gering. Berechnet man außerdem die Kennzahl Rho, welche die Sensitivität des Optionspreises bezüglich einer Zinssatzänderung widergibt, kann darüber hinaus festgestellt werden, dass der Einfluss der Zinssatzänderungen auf den Optionspreis gering ist. Ein nennenswerter Effekt ergibt sich erst für tief im Geld notierende Optionen mit langer Restlauzeit. Da der Dax ein Performanceindex ist, bei dem der Kurs unmittelbar um ausgeschüttete Dividenden korrigiert wird, gilt die Annahme, dass es während Laufzeit der Optionen zu keinen Dividendenzahlungen kommen darf als erfüllt. Gleiches gilt für Annahme der europäischen Ausübung: Die Dax-Option ist eine Option europäischen Typs. Ebenfalls unkritisch ist die Prämisse der möglichen Leerverkäufe. Obwohl seit 2010 ungedeckte Leerverkäufe in Deutschland grundsätzlich verboten sind, können diese über das Mittel der Leihe (gedeckte Leerverkäufe) nachgebildet werden. Zusätzlich gibt es Ausnahmen für Wertpapierdienstleistungsunternehmen, die weiterhin ungedeckte Leerverkäufe tätigen dürfen.

Dagegen kritischer zu betrachten sind die Annahmen der zweiten Kategorie, dem unterstellten Aktienkursprozess. Dazu gehören die Annahmen, dass der Aktienkurs einer geometrischen Brownschen Bewegung folgt was wiederum impliziert dass die log-Renditen normal verteilt sind, sowie dass die Volatilität konstant ist.

Der Test auf Normalverteilung soll in zwei Schritten geschehen. Als erstes sollen visuelle Prüfverfahren angewendet werden. Im zweiten Schritt soll die Normalverteilung anhand der zentralen Verteilungsmomente geprüft werden. Dazu wurden für den Zeitraum vom 15.Januar 2013 bis zum 14.Januar 2014 die Schlusskurse des DAX notiert und daraus mit Hilfe von Formel 2 die täglichen log-Renditen berechnet. Um die Häufigkeitsverteilung der log-Renditen grafisch darzustellen, wird die Form des Histogramms gewählt, eine Methode, die typischerweise eingesetzt wird um die Wahrscheinlichkeitsdichte zu schätzen.